対戦型の3Dゲームなどで
主人公と敵が常に画面に収まるよう、
カメラの距離を自動で調整したいことがある。
一番遠い距離で固定してしまうと
両者が接近したときに迫力がなくなるため、
離れているときだけ遠くから映し、
接近戦ではカメラを寄せるようにしたいわけだ。
格闘ゲームではよくある表現だが、
これを実現しようと思うと数学が絡んでくる。
カメラが見ている上下の距離を割り出す
3D世界を映すカメラの画角は自由に設定できるが、
これは一般的に縦方向の角度である（今回は60度とする）。
ゲーム画面は横長なので水平方向の画角はもう少し広くなる。
縦方向の画角を上半分だけで考えると30度になり、
カメラから前方に伸ばした直線を底辺とした
直角三角形をイメージすることができる。
たとえば底辺の長さが100だった場合、
この直角三角形の高さはいくらになるか。
これは三角関数のタンジェントで求めることができる。
これにより、三角形の高さは約57だとわかる。
この三角形が上下につながっているわけだから
ある場所から100離れたカメラが見渡している
上下方向の距離は約115ということだ。
カメラの水平方向の画角を求める
普通、ゲーム画面は横長サイズなので
縦方向に見渡せる範囲より横方向の方が広い。
一般的には16：９という比率（アスペクト比）になっているので
という計算で水平方向に見渡している距離がわかる。
ここから逆算する形でカメラの水平方向の画角を求める。
これまでの内容をまとめると
ある場所から100離れたカメラが見渡している
左右方向の距離は約205ということだ。
ここで直角三角形を見つけられるとベストだ。
右に90度回転して考えるとわかりやすいが、
底辺の長さが100、高さが約102の直角三角形になっている。
この２辺の長さから角度を割り出すには
タンジェントの逆関数であるアークタンジェントを使う。
実際には100倍や２倍する必要はないので、
とすれば一気に計算できる。
これは左半分の角度なので左右の画角では約91度になるが、
今後の計算の中では45度の方を使う。
キャラクターを頂点とする二等辺三角形を考える
カメラの画角は一定なので、
キャラクターをうまく視界に収めるには
対象者との距離で調整する必要があるわけだ。
２つのキャラクターがはみ出さないようにするには
両者を結んだ直線を底辺とする二等辺三角形をイメージすればよい。
（実際にはキャラクターのやや外側に頂点を置く方が綺麗）
ここでも直角三角形を見つけられただろうか。
とにかくゲームプログラミングは三角関数に頼る部分が多い。
今回も右に90度回転して考えるが、
キャラクター間の距離の半分を高さとする45度の直角三角形で、
この底辺の長さがカメラの理想的な距離というわけだ。
タンジェントというのはもともと
と定義されているわけだから、これを変形すれば
底辺の長さ＝高さ ÷
となり、今回の値を当てはめれば
理想的なカメラ距離＝キャラ間の距離の半分 ÷
となる。
あとは２つのキャラクターのちょうど中間の座標を
注視点（カメラが見ている場所）に設定し、
そこから理想距離だけ離した場所にカメラ本体を置けばいい。
市販ゲームで使われている処理も
実は中学数学さえわかれば実現できたりする。
