ベクトルの内積を使って角度を求める仕組み

ゲーム中に出てくる判定や敵AIの処理では
角度の情報が必要になることが多い。

2Dゲームの場合は回転方向が左右しかないので
タンジェントを利用するだけでなんとかなるが、
3Dゲームの場合は横にも縦にも回転できるので
ベクトルの内積を利用する必要が出てくる。

3Dゲーム開発をする上で内積は避けられないため、
早い段階で理解してしまう方がいい。

ベクトルの内積とは

内積の計算には必ず２本のベクトルが関係するので、
ここでは３つの座標のうち２つを結ぶベクトルを考える。

点Ａと点Ｂを結ぶベクトルを $\vec{AB}$ 、
点Ａと点Ｃを結ぶベクトルを $\vec{AC}$ と表現し、
２本のベクトルの向きは46度ズレているとする。

$\vec{AB}$ を求めるには座標Ｂから座標Ａを引き算するだけでいい。
「２ヶ所の座標を引き算すると
　その２点を結ぶベクトルが手に入る」
というのはベクトル計算の基本だ。

内積というのは２本のベクトルから求めたひとつの値を指し、
$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の内積は $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ と表現するが、
この求め方に２種類あるのがミソだ。

内積の計算方法その１

ひとつがベクトルの長さとコサインを利用する方法だ。

　 $\displaystyle\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}|cos\theta$

$|\vec{AB}|$ は $\vec{AB}$ の長さを表しているので、
上記の式は「 $\vec{AB}$ の長さ」と「 $\vec{AC}$ の長さ」と「コサインθ」を
すべて掛け合わせた値を求めていることになる。

ベクトルの長さは三平方の定理で求められるので、この図でいえば

　 $\displaystyle\begin{align}|\vec{AB}|&=\sqrt{(5-3)^2+(17-10)^2+(6-4)^2}\\&=\sqrt{2^2+7^2+2^2}\\&=\sqrt{57}\end{align}$

　 $\displaystyle\begin{align}|\vec{AC}|&=\sqrt{(7-3)^2+(12-10)^2+(5-4)^2}\\&=\sqrt{4^2+2^2+1^2}\\&=\sqrt{21}\end{align}$

となり、コサイン46度は約0.694なので、
それらを踏まえて計算すると

　 $\displaystyle\begin{align}\vec{AB}\cdot\vec{AC}&=|\vec{AB}||\vec{AC}|cos46^\circ\\&=\sqrt{57}\times\sqrt{21}\times\ 0.694\\&=24\end{align}$

となる。

内積の計算方法その２

もうひとつがベクトルの成分を使う方法だ。

$\vec{AB}$ の成分を $(AB_1,\ AB_2,\ AB_3)$ 、
$\vec{AC}$ の成分を $(AC_1,\ AC_2,\ AC_3)$ と表現すると、

　 $\displaystyle\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB_1\ AC_1+AB_2\ AC_2+AB_3\ AC_3$

という計算で内積を求めることができる。

ベクトルの成分というのはXYZ方向それぞれの長さであり、
終点から始点を引き算すればいいので、この図でいえば

　 $\displaystyle\begin{align}\vec{AB}&=(5-3,\ 17-10,\ 6-4)\\&=(2, 7, 2)\end{align}$

　 $\displaystyle\begin{align}\vec{AC}&=(7-3,\ 12-10,\ 5-4)\\&=(4, 2, 1)\end{align}$

となるので、これを踏まえて計算すると

　 $\displaystyle\begin{align}\vec{AB}\cdot\vec{AC}&=2\times\ 4+7\times\ 2+2\times\ 1\\&=24\end{align}$

となり、もう一方の計算方法で求めた値と同じ結果になる。

内積の値から角度を求める

さて、内積をうまく利用すると
２本のベクトルの間の角度を求めることができる。

先ほどは角度の値を添えていたが、
実際にはその情報がわからないことが多く、
そこを内積を利用して求めていくのだ。

一旦、内積を求める２つの計算方法を並べてみる。

　 $\displaystyle\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}|cos\theta$
　 $\displaystyle\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB_1\ AC_1+AB_2\ AC_2+AB_3\ AC_3$

どちらの計算方法でも同じ値が求まるわけだが、
１つ目の式はベクトルの長さとコサイン値、
２つ目の式はベクトルの成分が必要になる。

ベクトルの成分というのは要するに座標であり、
ゲームプログラムでは必ず保持している情報だ。
つまり、２つ目の式ならいつでも計算できる。
それに対して角度がわからない状況では１つ目の式は使えない。

しかし $AB_1\ AC_1+AB_2\ AC_2+AB_3\ AC_3$ の計算で求めた内積は
$|\vec{AB}||\vec{AC}|cos\theta$ と同じ値なわけだから、角度がわからなくても
「 $\vec{AB}$ の長さ」と「 $\vec{AC}$ の長さ」と「コサインθ」を
掛け合わせた値を求めることができるということだ。